정규분포(normal distribution)

• 연속형 확률분포에서 가장 대표적인 확률분포 : $X \sim N(\mu,\sigma^2)$

• 확률밀도 함수

  \[f(x)= \frac {1} {\sqrt{2 \pi \sigma^2 }} e^{ - \frac{(x-mu)^2}{2\sigma^2}}\]

• 평균, 분산 \(E(X)= \mu, Var(X)= \sigma^2\)

• 특징
  • 평균을 중심으로 좌우 대칭, 평균 = 중앙값 = 최빈값
  • 평균에서 멀어질수록 확률밀도함수 값은 점차 작아진다
  • 분산이 클수록 확률밀도함수의 꼬리가 두꺼워진다.
  • 정규분포의 pdf 직접 적분하여 확률을 구하는 것은 쉽지 않다
• 모양

표준정규분포(standiard normal distribution)

• 표준정규분포: 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포, $X \sim N(0,1)$
  • 표준정규분포를 따르는 확률변수를 일반적으로 Z 로 표현

• 확률밀도 함수 \(f(x)= \frac {1} {\sqrt{2 \pi }} e^{ - \frac{1}{2} x^2 }\)

• 정규분포의 표준화

  • 모든 정규분포는 표준정규분포로 변환할 수 있다.

    \[Z값 = \frac{X-\mu}{\sigma} , 표본의 경우 = \frac{X-\bar{X}_{n}}{\sigma}\]
• 표준정규분포의 누적분포함수

  • 파이라고 읽는다

    \[Ø(x) = F(x) = P(Z≤x) = \int_{-∞}^{x} \frac {1} {\sqrt{2 \pi }} e^{ - \frac{1}{2} z^2 }dz\]
  \[Ø(1.98) = 0.9761, Ø^{-1}(0.9761) = 1.98, z_{0.0239} = 1.98\]

  일반 정규분포와 표준정규분포와의 관계

  • 일반 정규분포의 값은 평균으로부터 표준편차 몇 배로 떨어져 있는 지를 나타내는 수치가 표준정규분포 값을 의미한다
  

이항분포의 정규근사

• 이항분포 확률계산은 쉽지 않기 때문에
• n 이 크고 p 가 작은 경우는? 포아송 근사

• n 이 크고 p 가 0 이나 1 에 크게 쏠리지 않는 경우는? 정규 근사

  \[X \sim B(n,p) => X \approx N(np,np(1-p))\]
  • np ≥ 10(또는 5) 이고, np(1-p) ≥ 10(또는 5)이면 근사 가능

• 연속수정계수( continuity correction factor )

  • 𝒏 이 비교적 작더라도 만족스러운 결과를 얻기 위한 수정
  • 이산형 ➔ 연속형의 변환 과정에서 필요한 조정
  • 연속을 위하여 연속수정계수: 0.5를 더하거나 빼는 것
  • 수정 방법 (범위가 좀더 커지는 방향으로)
    • $P(a≤X≤b) = P(a-1/2<X<b+1/2)$
    • $P(X≥a) = P(X≥a-1/2)$
    • $P(X≤b) = P(X≤b+1/2)$
    • $P(X=k) = P(k-1/2≤X≤k+1/2)$

포아송분포의 정규근사

• 주어진 시간에 발생한 사건 수가 포아송분포를 따른다면 주어진 시간을 합하여 발생한 총 발생 건수는 정규분포로 근사 가능

  \[X \sim P(n,\lambda) => X \approx N(n\lambda,n\lambda)\]

정규분포 관련 R 함수

내용	형식	비고
밀도함수	dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)	log = TRUE이면 반환되는 값의 log값을 반환
누적분포함수	pnorm(q, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)	lower.tail : TRUE 이면 확률 계산을 P(X<= x)로, FALSE 이면 P(X>x)
분위수함수	qnorm(p, mean=0, sd=1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)	α = P(Z > zα), α는 Z가 zα 보다 클 확률
난수발생	rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

  Example)
  
  > rnorm(5) # 표준정규분포 N(0,1)에서 난수 5개 생성
  > rnorm(5) # 매 실행 시 다른 결과를 제공
  > rnorm(10,mean=3,sd=2) # N(3,4)에서 난수 10개 생성
  > dnorm(0) # 표준정규분포에서 x가 0일때 y값
  > pnorm(1.96) # 표준정규분포의 누적분포함수에서 x가 1.96일 때 y값
  > qnorm(0.975) # 상위 2.5%를 갖는 x 값
  > qnorm(0.975, lower.tail=FALSE) # 하위 2.5를 갖는 x 값