확률의 기본개념

• 확률이란 ?
  • 여러 가지 가능한 결과 중 하나가 일어나는 실험에서, 일부가 일어날 가능성을 0과 1 사이의 값으로 나타낸 것
    • Ex) 동전을 10번 던져서 앞면이 5번 나올 확률 등

• 기본용어

  구분	내용	예시
  표본공간(sample space, S 또는 Ω)	실험에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합
  근원사건 (elementary event, a 또는 ω)	실험에서 일어날 수 있는 개개의 결과
  사건(event, A)	근원사건으로 구성된 표본공간의 부분집합
  P(A)	사건 A가 발생할 확률

• 확률의 해석

    * 해석1 : 근원사건에 동일한 확률을 부여
        - 주사위 던졌을 경우 1의 눈이 나올 확률은 1/6
    * 해석2 : 실험을 반복할 때 사건 A가 발생하는 상대도수 극한값
        - 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1/2 
    * 해석3 : 사건 A가 일어날 가능성에 대한 믿음을 수치화한 것
        - 10년 이내에 통일이 될 확률
  
    -> 확률은 이 모든 의미를 다 포함하고 있음
  

확률의 연산

구분	내용
상호배반사건(mutually exclusive events) $A \cap B$ = 공사건	사건 A와 B가 동시에 일어날 수 없는 사건
합사건(union) $A \cup B$	사건 A와 B 중 어느 하나만 일어나도 포함되는 사건
곱사건(intersection) $A \cap B$	사건 A와 B 모두 일어나야 하는 사건
여사건(complement) $A^{c}$	표본공간 S의 원소 중에서 어떤 사건 A에 포함되지 않은 원소로 구성된 사건

확률의 공리

1. 모든 사건 A에 대하여, $0 \le P(A) \le 1$
2. $P(S) = P(\Omega)=1$
3. 사건 $A_{1},A_{2}, ….$가 서로 배반일 때 (무한 배반 사건열) \(P\left ( \bigcup_{i=1}^{∞} A_i \right ) = \sum_{i=1}^{∞} P(A_i)\)

확률의 Counting 방법

• 기본 Counting

  구분	내용
  곱의 법칙 (Multiplication Law)	전체 실험이 두 개 이상으로 나누어지고 서로 영향을 받지 않는다면 곱하기로 경우의 수를 계산한다. 주사위를 던지고 동전을 던지는 경우: 6 × 2 = 12 (가지)
  순열 (Permutation)$_nP_k$	n 개 중에서 k 개를 뽑아 순서있게 나열하는 경우의 수 $n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n!/(n-k)!$
  조합 (Combination)$_nC_k$	n 개 중에서 k 개를 뽑는 경우의 수 $_nC_k=_nP_k / k! = n!/((n-k)!k!)$

  • Ex1) 50명 학생 과목에서 생일이 최소한 2명이상 같을 확률은? \(1-_{365}P_{50} / 365^{50}=0.97\)

    # R에서는 choose() 함수 와 factorial() 함수사용
    > 1 - choose(365,50) * factorial(50) / (365^50)
    [1] 0.9703736
    

  • Ex2) $(x+y)^{10}$의 $x^{2}y^{8}$ 계수는 얼마인가? 10개의 $(x+y)$항에서 2개를 뽑는 것으로 \(_{10}C_{2} = 45\)

    > choose(10,2)
    [1] 45
    

• 이항정리

  • $(x+y)^n$은 다음과 같이 전개된다 \((x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n}C_r x^{r}(y)^{n-r}\)

  • 만일 x=p, y=1-p로 설정하면 다음과 같다 ( → 이항분포의 기본형) \((p+1-p)^{n} = 1 = \sum_{r=0}^{n} {_n}C_r p^{r}(1-p)^{n-r}\)