추측 통계학을 연결하는 중간적인 개념으로 확률 변수가 발생한다.

확률변수

• 사건(표본공간)에 수치를 부여하는 규칙을 가진 함수(X,Y,Z)-대문자로 표기하고, 소문자는 확률 변수의 값
• 함수의 형태이지만 확률변수(random variable)이라고 부르게 된다.
  • 확률공간에서 실수의 공간으로 가게 되는 함수가 정확한 표현
• 종류는 이산형확률변수(discrete random variable)과 연속형 확률변수(continuous random variable)로 나눌 수 있다

확률분포

• 확률변수에 확률을 할당하는 함수, 즉 확률변수가 특정값을 가질 확률을 나타내는 함수

이산형 확률분포

• 확률 분포(discrete probablity distribution)
  • 이산형 확률변수에 확률을 할당하는 함수
  • 확률질량함수(probability mass function, pmf), 𝒑(𝒙) , 확률함수
  • 한점 한점에 대해 확률이 부여되기 때문에 다소 어렵게 된다.
    • 즉 이산형인 경우 $f(x) = P(X=x) \neq 0$ 일 수 있다
  • 확률질량함수, pmf(확률함수,pf)의 조건
    • 조건1) $0 \le p(x_i) \le 1 , i = 1,2,…,r$
    • 조건2) $p(x) = 0 , 나머지 (x \neq x_i)$
    • 조건3) $\sum_{i=1}^{r} p(x_i)=1$

• 이산형 누적분포함수

  • 누적분포함수(cumulative distribution function, cdf)
    • $F(x) = P(X \le x)$
  • 누적분포함수, F(x) 의 특징
    • 특징1) $F(x)$는 비감소함수 (non-decreasing function)
    • 특징2) $F(-∞)=0$
    • 특징3) $F(∞)=1$

• 이산형 확률변수의 요약

  • 기대값
    • 기대값(Expected Value): 확률변수의 평균
    • 어떤 실험을 동일한 조건에서 무수히 반복했을 때 얻을 수 있는 평균값(long-run average of repeated observations)
    • $E(x)$ 또는 $\mu$로 표기 (모평균의 개념)

    • $E(x) = \sum_{i=1}^{r}x_{i}p(x_{i})$

      

  • 분산
    • 분산(Variance): 확률변수의 산포도를 나타내는 수치
    • 𝑽𝒂𝒓(𝑿) 또는 𝝈𝟐 로 표기 (모분산의 개념)
    • 편차제곱의 평균값

    • $Var(X)=\sum_{i=1}^{r}(x_i-\mu)^2p(x_i) = E[(X-\mu)^2] = E(X^2)-[E(X)]^2$

      

이산형 확률분포

• 연속형 확률분포(continuous probability distribution)
  • 연속형 확률변수에 확률을 할당하는 함수
  • 확률밀도함수(probability density function, pdf), 𝒇(𝒙)
  • 한점의 확률은 0 이기 때문에 구간의 개념으로 확률을 부여하게 된다.
    • 즉 연속형인 경우 항상 $f(x) = P(X=x) = \int_{-∞}^{∞}f(x)dx = 0$ 이다
  • 확률밀도함수, pdf 의 조건
    • 조건1) $f(x) \gt 0, -∞ \le x \le ∞$ ※ 1보다 클수도 있다
    • 조건2) $\int_{-∞}^{∞}f(x)dx = 1$ ※ 밀도함수의 면적이 1이라는 의미
    • 조건3) $임의의수 c,d에 대하여, p(c \le X \le d)=\int_{c}^{d}f(x)dx$
• 연속형 누적분포함수(cdf)
  • \[F(x) =P(X \le x) = \int_{-∞}^{x}f(t)dt\]

• 연속형 확률변수의 요약

  • 연속형 확률변수 X의 기대값은
    • $E[X] = \int_{-∞}^{∞}xf(x)dx$
  • 분산
    • $Var(X)=E[(X-\mu)^2] = \int_{-∞}^{∞}(x-\mu)^{2}f(x)dx = E(X^2)-\mu^2$